برای حل این سوالها، به کمک اتحادهای ریاضی عمل میکنیم:
1. \((5x + 3)^2\):
از اتحاد مربع دوجملهای استفاده میکنیم:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
در اینجا \(a = 5x\) و \(b = 3\) میباشد:
\((5x + 3)^2 = (5x)^2 + 2(5x)(3) + 3^2\).
\((5x)^2 = 25x^2\),
\(2(5x)(3) = 30x\),
\(3^2 = 9\).
پس:
\(25x^2 + 30x + 9\).
2. \((\sqrt{7x} - \sqrt{2})(\sqrt{7x} + \sqrt{2})\):
از اتحاد مزدوج استفاده میکنیم:
\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).
در اینجا \(a = \sqrt{7x}\) و \(b = \sqrt{2}\) میباشد:
\((\sqrt{7x})^2 - (\sqrt{2})^2\).
\(7x - 2\).
3. \((3x + 4)(3x - 1)\):
از اتحاد \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) استفاده نمیکنیم چرا که صیغه این اتحاد نیست. ساده ضرب میکنیم:
\(3x(3x - 1) + 4(3x - 1)\).
\(= 9x^2 - 3x + 12x - 4\).
جمع میکنیم:
\(= 9x^2 + 9x - 4\).
4. \(1003 \times 997\):
از اتحاد \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) با \(a = 1000\) و \(b = 3\) استفاده میکنیم:
\(= (1000 + 3)(1000 - 3) = 1000^2 - 3^2\).
\(= 1000000 - 9\).
\(= 999991\).
5. \(503^2\):
از اتحاد مربع دوجملهای استفاده میکنیم:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
با \(a = 500\) و \(b = 3\).
\((503)^2 = (500 + 3)^2 = 500^2 + 2(500)(3) + 3^2\).
\(= 250000 + 3000 + 9\).
\(= 253009\).
این پاسخها به روشنی و با استفاده از اتحادهای مهم ریاضی ارائه شد.
